Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$mx²+nx，x∈R．
（1）當(dāng)m=1，n=-2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)n=0，且m＞0時(shí)．求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)-m≤-1，即m≥1時(shí)，當(dāng)-m＞-1，即0＜m＜1時(shí)，求得[-1，1]的單調(diào)區(qū)間，可得最大值．

解答 解：（1）當(dāng)m=1，n=-2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+x-2，
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜-2；由f′（x）＜0，可得-2＜x＜1．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），減區(qū)間為（-2，1）；
（2）當(dāng)n=0，且m＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$mx²，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+mx=x（x+m），
當(dāng)-m≤-1，即m≥1時(shí)，f（x）在（-1，0）遞減，（0，1）遞增，
f（0）取得最小值，f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$m，f（-1）=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$m＜f（1），
可得f（1）取得最大值；
當(dāng)-m＞-1，即0＜m＜1時(shí)，f（x）在（-1，-m），（0，1）遞增，在（-m，0）遞減，
f（-m）取得極大值，且為$\frac{1}{6}$m³，f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$m，f（-1）=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$m＜f（1），
由f（-m）-f（1）=$\frac{1}{6}$（m³-3m-2）=$\frac{1}{6}$（m+1）²（m-2）＜0，
可得f（1）取得最大值．
綜上可得f（x）在區(qū)間[-1．，1]上的最大值為f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$m．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．