Question

6．已知經(jīng)過點P（1，$\frac{3}{2}$）的兩個圓C₁，C₂都與直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x相切，則這兩圓的圓心距C₁C₂等于$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），由于圓與直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，根據(jù)點到直線的距離公式得圓心只能在直線y=x上，設(shè)C₁（a，a），C₂（b，b），推導(dǎo)出a，b是方程（1-x）²+（$\frac{3}{2}-x$）²=$\frac{{x}^{2}}{5}$的兩根，由此能求出．這兩圓的圓心距C₁C₂．

解答 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），由于圓與直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，
根據(jù)點到直線的距離公式得：$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}=\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$，解得y=x，
∴圓心只能在直線y=x上，
設(shè)C₁（a，a），C₂（b，b），
則圓C₁的方程為（x-a）²+（y-a）²=$\frac{{a}^{2}}{5}$，
圓C₂的方程為（x-b）²+（y-b）²=$\frac{^{2}}{5}$，
將（1，$\frac{3}{2}$）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（\frac{3}{2}-a）^{2}=\frac{{a}^{2}}{5}}\\{（1-b）^{2}+（\frac{3}{2}-b）^{2}=\frac{^{2}}{5}}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程（1-x）²+（$\frac{3}{2}-x$）²=$\frac{{x}^{2}}{5}$，即$\frac{9{x}^{2}}{5}-5x+\frac{13}{4}$=0的兩根，
∴$a+b=\frac{25}{9}$，ab=$\frac{65}{36}$，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{（a-b）^{2}+（a-b）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{625}{81}-\frac{65}{9}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．

點評 本題考查兩圓的圓心距的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式、韋達(dá)定理的合理運用．