Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x+1
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）求曲線在點（0，f（0））處的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）由導數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0得x=±1，
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，當x∈（-∞，-1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上 遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上遞增，
當x=-1時取到極大值是f（-1）=3，當x=1取到極小值f（1）=-1．…（4分）
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-3得，f′（0）=-3，
∵f（0）=1，∴曲線在點（0，f（0））處的切線方程是y-1=-3x
即3x+y-1=0．…（8分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，以及導數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．