Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{4}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若不垂直于坐標(biāo)軸的直線l經(jīng)過點(diǎn)P（m，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，0），直線AQ，BQ的斜率之和為0，求mn的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過長(zhǎng)軸長(zhǎng)可知a=4，利用離心率可知c=$\sqrt{7}$，通過a²=b²+c²可知b²=9，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通過設(shè)直線l方程為y=k（x-m）（k≠0）并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$，通過$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=0，代入計(jì)算、化簡(jiǎn)即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知2a=8，即a=4，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴c=$\sqrt{7}$，
又∵a²=b²+c²，
∴b²=9，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為y=k（x-m）（k≠0），且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂，
將y=k（x-m）代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，得：（9+16k²）x²-32k²mx+16k²m²-144=0，
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$，
由k₁+k₂=0得，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=0，
將y₁=k（x₁-m）、y₂=k（x₂-m）代入，
整理得：$\frac{2{{x}_{1}x}_{2}-（m+n）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2mn}{{x}_{1}{x}_{2}-n（{x}_{1}+{x}_{2}）+{n}^{2}}$=0，
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
將x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$代入，
整理可解得：mn=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．