Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$（m∈R）在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m=（　�。�

• A． -3e
• B． -1
• C． -e³
• D． e²

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分m的范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，利用最小值等于4求m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$．
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$=0，此時(shí)x=-m，如果m≥0，則無(wú)解．
所以，當(dāng)m≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
當(dāng)m＜0時(shí)，
若x∈（0，-m），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，若x∈（-m，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以f（-m）=ln（-m）+1為極小值，也是最小值；
①當(dāng)-m＜1，即-1＜m＜0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，所以m=-4（矛盾）；
②當(dāng)-m＞e，即m＜-e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=1-$\frac{m}{e}$=4．所以m=-3e．
③當(dāng)-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值為f（-m）=ln（-m）+1=4．此時(shí)m=-e³＜-e（矛盾）．
綜上m=-3e．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是正確分類，是中檔題．