Question

15．若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=lg（x+1）
（1）求f（x）的解析式，并畫出大致圖象；
（2）若對(duì)于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R上為奇函數(shù)，可得f（0）=0，再由x＜0，-x＞0，f（x）=-f（-x），即可得到所求解析式，畫出分段函數(shù)的圖象；
（2）由f（x）在R上為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，可得t²-2t＜-k+2t²，再由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
x＜0時(shí)，-x＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lg（x+1）
則f（x）=-f（-x）=-lg（-x+1），
綜上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lg（x+1），x＞0\\ 0，x=0\\-lg（-x+1），x＜0\end{array}\right.$；
f（x）的大致圖象為右圖；
（2）由（1）可知f（x）在R上為增函數(shù)，
f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0⇒f（t²-2t）＜-f（k-2t²）
⇒f（t²-2t）＜f（-k+2t²）⇒t²-2t＜-k+2t²⇒k＜t²+2t恒成立，
由t²+2t=（t+1）²-1≥-1，⇒k＜-1，
所以k的取值范圍是（-∞-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．