Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）把ρ=2$\sqrt{3}$cosθ化為${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）把直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，由（1）求出圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，代入弦長公式求出|AB|．

解答 解：（1）由ρ=2$\sqrt{3}$cosθ得${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0$；…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$得，x+y-2-$\sqrt{3}$=0，
由（1）得圓的方程是${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x=0$，
則圓心坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，0）、半徑r=$\sqrt{3}$，
∴圓心（$\sqrt{3}$，0）到直線x+y-2-$\sqrt{3}$=0的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-0-2-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-wnpot7l^{2}}$=2．…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，點到直線的距離公式，以及直線與圓相交時的弦長公式，屬于中檔題．