Question

3．點P（x，y）在直線x+y=12運動，則$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$的最小值為13．

Answer 1

分析 $\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-4）^{2}}$，表示x軸上一點P（x，0）到兩點A（0，-1），B（12，4）的距離之和，因為AB在x軸兩側(cè)，所以P就是直線AB和x軸交點，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵x+y=12，∴y=12-x
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-4）^{2}}$
表示x軸上一點P（x，0）到兩點A（0，-1），B（12，4）的距離之和
∵△PAB中，兩邊之和大于第三邊，
∴PA+PB＞AB，
當(dāng)A、P、B在一直線且P在AB之間時，PAB退化為線段，
此時PA+PB=AB，即PA+PB有最小值A(chǔ)B；
∵AB在x軸兩側(cè)，所以P就是直線AB和x軸交點，
∴最小值存在，就是AB距離$\sqrt{（0-12）^{2}+（-1-4）^{2}}$=13，
故答案為：13．

點評 本題考查兩點間距離公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．