Question

10．在數(shù)列{a_n}中，a_n+a_n+1+a_n+2為同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，該數(shù)列的前n項(xiàng)和記為S_n，給出下列結(jié)論：
①數(shù)列{a_n}一定為常數(shù)列；
②a₁有無數(shù)個值；
③S_3n=3n；
④數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列，
其中結(jié)論正確的為②③（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 在數(shù)列{a_n}中，a_n+a_n+1+a_n+2為定值，且a₁₃+a₁₅+1₁₇=3，得到數(shù)列各項(xiàng)以3為周期呈周期變化且a₁+a₂+a₃=3，由此舉例逐一判斷4個命題得答案．當(dāng)a₁=0，a₂=1，a₃=2時滿足已知條件a_n+a_n+1+a_n+2為同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，數(shù)列{a_n}不一定為常數(shù)列；只要滿足a₁+a₂+a₃=3，a₁可取任意實(shí)數(shù)值；由a₁+a₂+a₃=3，可得S_3n=n（a₁+a₂+a₃）=3n；當(dāng)a_n=1時數(shù)列滿足已知條件，數(shù)列為等比數(shù)列．

解答 解：當(dāng)a₁=0，a₂=1，a₃=2時滿足已知條件a_n+a_n+1+a_n+2為同一定值，且a₁₃+a₁₅+a₁₇=3，∴數(shù)列{a_n}不一定為常數(shù)列，①不正確；
只要滿足a₁+a₂+a₃=3，a₁可取任意實(shí)數(shù)值，∴②正確；
∵a₁+a₂+a₃=3，∴S_3n=n（a₁+a₂+a₃）=3n，∴③正確．
當(dāng)a_n=1時數(shù)列滿足已知條件，數(shù)列為等比數(shù)列，∴④不正確
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是基礎(chǔ)題．