Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{1-x}（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$，則方程4f（x）=1的實根個數(shù)為2．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=-2^-（x-1）+1在[1，+∞）上為增函數(shù)，且值域為[0，1）；函數(shù)f（x）=x²-3x+2在（-∞，1）上為減函數(shù)，且f（x）∈（-∞，0）．把方程4f（x）=1的實根個數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{1}{4}$兩圖象交點的個數(shù)得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{1-x}（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-（x-1）}+1（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥1時，x-1≥0，-（x-1）≤0，0＜2^-（x-1）≤1，
∴0≤-2^-（x-1）+1＜1，且在[1，+∞）上f（x）=-2^-（x-1）+1為增函數(shù)；
而f（x）=x²-3x+2在（-∞，1）上為減函數(shù)，且f（x）∈（-∞，0）．
由4f（x）=1，得f（x）=$\frac{1}{4}$．
∴函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{1}{4}$有2個交點．
即方程4f（x）=1的實根個數(shù)為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值域的求法，是中低檔題．