Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x+b}{x-b}$．（b＞0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（b，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)是正數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）與f（-x）的數(shù)量關(guān)系判定該函數(shù)的奇偶性；
（3）利用定義來(lái)判定其單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由$\frac{x+b}{x-b}$＞0（b＞0）解得：x＜-b或x＞b，
∴定義域?yàn)椋?∞，-b）∪（b，+∞）；
（2）f（-x）=ln$\frac{-x+b}{-x-b}$=-ln$\frac{x+b}{x-b}$=-f（x），
∴（x）為奇函數(shù)；
（3））因?yàn)閒（-x）=ln$\frac{x+b}{x-b}$=ln（1+$\frac{2b}{x-b}$），b＞0，
當(dāng)b＜x₁＜x₂時(shí)，1+$\frac{2b}{{x}_{1}-b}$＞1+$\frac{2b}{{x}_{2}-b}$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（b，+∞）上遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)定義域及其求法以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題，熟記定義即可．