14．若關(guān)于x的方程ax2-1=lnx有兩解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 由題意可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有兩個(gè)不等的實(shí)根．求出f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最大值，畫出圖象，通過圖象即可得到兩個(gè)交點(diǎn)的情況，求得a的范圍．

解答 解：由ax2-1=lnx，可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，x＞0．
由題意可得方程a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有兩個(gè)不等的實(shí)根．
f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$處f（x）取得最大值$\frac{e}{2}$．
畫出函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的圖象，
由圖象可得當(dāng)0＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，
直線y=a和函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的范圍是（0，$\frac{e}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
單價(jià)x（元）0.250.5124
銷量y（件）1612521
（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判斷，y=ax+b與y=$\frac{c}{x}$+d哪一個(gè)適宜作為產(chǎn)品銷量y關(guān)于單價(jià)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

參考公式其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．在空間直角坐標(biāo)系中，A（1，2，3），B（2，2，0），則$\overrightarrow{AB}$=（　　）
A．（1，0，-3）B．（-1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．化簡與計(jì)算：
（Ⅰ）2${\;}^{lo{g}_{2}5}$-log${\;}_{\frac{1}{2}}$8；
（Ⅱ）$\frac{sin（π-α）+sin（\frac{π}{2}-α）+sin（2π-α）}{cos（π+α）+sin（\frac{π}{2}+α）+cos（2π+α）}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x}{2}$）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知一個(gè)平放的棱長為4的三棱錐內(nèi)有一小球O（重量忽略不計(jì)），現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的$\frac{7}{8}$時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切（與水面也相切），則球的表面積等于（　�。�
A．$\frac{7}{6}$πB．$\frac{4}{3}$πC．$\frac{2}{3}$πD．$\frac{1}{2}$π

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．設(shè)曲線y=2x3在點(diǎn)（a，2a3）的切線與直線x=a，y=0所圍成的三角形面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．以初速度為v0（v0＞0）做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體，t時(shí)刻的高度為s（t）=v0t-$\frac{1}{2}$gt2（g為常數(shù)），求物體從t0到t0+△t間的平均速度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．若四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|．求證：四邊形ABCD是矩形．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案