Question

14．若關(guān)于x的方程ax²-1=lnx有兩解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有兩個不等的實根．求出f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最大值，畫出圖象，通過圖象即可得到兩個交點的情況，求得a的范圍．

解答 解：由ax²-1=lnx，可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，x＞0．
由題意可得方程a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有兩個不等的實根．
f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
當x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$處f（x）取得最大值$\frac{e}{2}$．
畫出函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的圖象，
由圖象可得當0＜a＜$\frac{e}{2}$時，
直線y=a和函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個交點．
則實數(shù)a的范圍是（0，$\frac{e}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查函數(shù)的零點的判斷，注意運用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．