4．若四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|．求證：四邊形ABCD是矩形．

分析 由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$知四邊形為平行四邊形，由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|可知AB⊥BC，推出結(jié)論．

解答 證明：∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，∴AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|，∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，∴AB⊥BC．
∴四邊形ABCD是矩形．

點評 本題考查了向量共線與垂直的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．若關(guān)于x的方程ax2-1=lnx有兩解，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點．
（1）求過點P，Q的曲線y=x2的切線方程；
（2）求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|+m|x-1|，0≤x≤2，其中a，m∈R．
（1）若a=0，m=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于給定的實數(shù)a，若函數(shù)f（x）存在最大值1+a，求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，則△ABC的形狀是（　　）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．最大角為120°的鈍角三角形D．最大角小于120°的鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知t＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=x3+$\frac{3（t-1）}{2}$x2-3tx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≤xex-m（e為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意x∈[0，+∞）恒成立時，m的最大值為0，求t的取值范圍．

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3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l過橢圓的左頂點A，且與橢圓相交于另一點B．
（i）若$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直線l的傾斜角；
（ii）若點Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，求y0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率 e=$\frac{4}{5}$，且經(jīng)過點（0，3），左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F1作直線l與橢圓C交于A、B兩點，求△ABF2的面積S的最大值，并求出S取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=$\sqrt{2}$AB，∠AA1C1=60°．AB⊥AA1，H為棱CC1的中點，D為BB1的中點．
（Ⅰ）求證：A1D⊥平面AB1H；
（Ⅱ）AB=$\sqrt{2}$，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．

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