Question

17．在（x-y）ⁿ展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-256．
求（1）n；
（2）系數(shù)的最大和最小項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-256，可得2^n-1=2⁸，由此求得n值；
（2）寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)即可求得系數(shù)的最大和最小項(xiàng)．

解答 解：（1）由二項(xiàng)式（x-y）ⁿ的展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為-256，得-2^n-1=-256，
即2^n-1=2⁸，∴n=9；
（2）（x-y）⁹展開(kāi)式中，共有10項(xiàng)，
其中第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，
而${T}_{5}={C}_{9}^{4}{x}^{5}（-y）^{4}=126{x}^{5}{y}^{4}$，${T}_{6}={C}_{9}^{5}{x}^{4}（-y）^{5}=-126{x}^{4}{y}^{5}$，
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)為126，系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng)為-126．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題．