Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點恰好是拋物線x²=4$\sqrt{3}$y的焦點，且離心率為e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，過橢圓C的右焦點作直線l∥AB交橢圓C于M，N兩點．試問$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$是否為定值，若為定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義求出a=2，再求出b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韋達(dá)定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）拋物線x²=4$\sqrt{3}$y的焦點為（0，$\sqrt{3}$），則b=$\sqrt{3}$．
$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²=3解得a=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率不存在時，|AB|²=（2b）²=4b²，|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$，
∴$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$=2a=4．…（6分）
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．…（10分）
由直線y=kx代入橢圓方程，消去y，并整理得：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₃-x₄|=4$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$=$\frac{\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=4，
綜上所述，$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$為定值4．  …（13分）

點評 本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．