Question

9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，△ABC為邊長(zhǎng)為1的正三角形，且AA₁=2，D為AA₁上的點(diǎn)，且A₁D=$\frac{1}{4}$，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁D⊥A₁C；
（2）求直線A₁C₁與平面A₁CF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）可取A₁B₁的中點(diǎn)E，并連接FE，根據(jù)條件可知FB，F(xiàn)E，F(xiàn)C三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后可求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$的坐標(biāo)，容易得出$\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0$，從而證出B₁D⊥A₁C；
（2）可以求出向量$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{F{A}_{1}}，\overrightarrow{FC}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面A₁CF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{F{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$的坐標(biāo)，可設(shè)直線A₁C₁與平面A₁CF所成角為θ，從而根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{m}＞|$即可求出sinθ的值．

解答 解：（1）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)E，連接EF，則：FB，F(xiàn)E，F(xiàn)C三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：

F（0，0，0），${B}_{1}（\frac{1}{2}，2，0），D（-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}，0），{A}_{1}（-\frac{1}{2}，2，0）$，$C（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，${C}_{1}（0，2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}=（-1，-\frac{1}{4}，0），\overrightarrow{{A}_{1}C}=（\frac{1}{2}，-2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}⊥\overrightarrow{{A}_{1}C}$；
∴B₁D⊥A₁C；
（2）$\overrightarrow{F{A}_{1}}=（-\frac{1}{2}，2，0），\overrightarrow{FC}=（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=$（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
設(shè)平面A₁CF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{F{A}_{1}}=-\frac{1}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，則x=4，z=0，∴$\overrightarrow{m}=（4，1，0）$；
設(shè)直線A₁C₁和平面A₁CF所成角為θ，則：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{1•\sqrt{17}}=\frac{2\sqrt{17}}{17}$；
即直線A₁C₁和平面A₁CF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線垂直和線面角等問題的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，以及平面法向量的概念及求法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，清楚直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系．