Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$．
（1）求a_n與b_n；
（2）若對于?n∈N^*，不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，聯(lián)立b₂+S₂=12及q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，計算即得公差和公比，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而利用并項相消法計算、放縮即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，
∴q+6+d=12、q=$\frac{6+d}{q}$，
解得：q=3或q=-4（舍），d=3，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（3+3n）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵n≥1，
∴$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{2}{3}$，
∴t≥$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用裂項相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．