【題目】已知橢圓,點(diǎn)在橢圓上,橢圓的離心率是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn),為橢圓上異于橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn),記直線斜率分別為,若,請(qǐng)判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求該定點(diǎn)坐標(biāo),若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)過定點(diǎn)
【解析】
(1)由點(diǎn)M(﹣1,)在橢圓C上,且橢圓C的離心率是,列方程組求出a=2,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,聯(lián)立,得:(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0,利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件得直線PQ的方程過定點(diǎn)(1,0);再驗(yàn)證直線PQ的斜率不存在時(shí),同樣推導(dǎo)出x0=1,從而直線PQ過(1,0).由此能求出直線PQ過定點(diǎn)(1,0).
(1)由點(diǎn)在橢圓上,且橢圓的離心率是,
可得,
可解得:
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
(。┊(dāng)直線斜率不存在時(shí),由題意知,直線方程和曲線方程聯(lián)立得:,,
(ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立,消去得:,
由,有,
由韋達(dá)定理得:,,
故,可得:,
可得:,
整理為:,
故有,
化簡(jiǎn)整理得:,解得:或,
當(dāng)時(shí)直線的方程為,即,過定點(diǎn)不合題意,
當(dāng)時(shí)直線的方程為,即,過定點(diǎn),
綜上,由(。áⅲ┲,直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
已知數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某日A, B, C三個(gè)城市18個(gè)銷售點(diǎn)的小麥價(jià)格如下表:
銷售點(diǎn)序號(hào) | 所屬城市 | 小麥價(jià)格(元/噸) | 銷售點(diǎn)序號(hào) | 所屬城市 | 小麥價(jià)格(元/噸) |
1 | A | 2420 | 10 | B | 2500 |
2 | C | 2580 | 11 | A | 2460 |
3 | C | 2470 | 12 | A | 2460 |
4 | C | 2540 | 13 | A | 2500 |
5 | A | 2430 | 14 | B | 2500 |
6 | C | 2400 | 15 | B | 2450 |
7 | A | 2440 | 16 | B | 2460 |
8 | B | 2500 | 17 | A | 2460 |
9 | A | 2440 | 18 | A | 2540 |
(Ⅰ)求B市5個(gè)銷售點(diǎn)小麥價(jià)格的中位數(shù);
(Ⅱ)甲從B市的銷售點(diǎn)中隨機(jī)挑選一個(gè)購買1噸小麥,乙從C市的銷售點(diǎn)中隨機(jī)挑選一個(gè)購買1噸小麥,求甲花費(fèi)的費(fèi)用比乙高的概率;
(Ⅲ)如果一個(gè)城市的銷售點(diǎn)小麥價(jià)格方差越大,則稱其價(jià)格差異性越大.請(qǐng)你對(duì)A、B、C三個(gè)城市按照小麥價(jià)格差異性從大到小進(jìn)行排序(只寫出結(jié)果).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x2+ax,g(x)=ex﹣e,其中a>0.
(1)若a=1,證明:f(x)≤0;
(2)用max{m,n}表示m和n中的較大值,設(shè)函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)},討論函數(shù)h(x)在(0,+∞)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
Ⅰ當(dāng)時(shí),取得極值,求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);
Ⅱ當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且時(shí),總有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖像.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角中,角的對(duì)邊分別為,若,,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過橢圓W:的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),其中 ,另一條過的直線交橢圓于兩點(diǎn)(不與重合),且點(diǎn)不與點(diǎn)重合.過作軸的垂線分別交直線,于,.
(Ⅰ)求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程;
(Ⅱ)求證:.
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