Question

3．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0．求證：A，B，C成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到cosB=$\frac{1}{2}$，從而可證明sin2B=sin（A+C），可得2B=A+C，即可證明A，B，C成等差數(shù)列；

解答 證明：∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化簡得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，…①
即sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$；
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∴sin2B=2sinBcosB=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
∴2B=A+C
∴A，B，C成等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列的證明，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．