Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點(diǎn)到直線y=x+$\sqrt{6}$的距離為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（2，1），斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂．
①若直線l過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，求k₁，k₂的值；
②試猜測(cè)k₁，k₂的關(guān)系，并給出你的證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），由右焦點(diǎn)到直線y=x$+\sqrt{6}$的距離為2$\sqrt{3}$，可得$\frac{|c+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，解得c．又由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合a²=b²+c²，解出a，b即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）①若直線l過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是l：y=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{2}$，聯(lián)立方程組解得A，B坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出k₁，k₂的值；
②設(shè)直線在y軸上的截距為b，直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+b．與橢圓方程聯(lián)立可得x²+2bx+2b²-4=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），
由右焦點(diǎn)到直線y=x+$\sqrt{6}$的距離為$2\sqrt{3}$，∴$\frac{|c+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，解得c=$\sqrt{6}$，
又由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得a²=8，代入b²=a²-c²，得b²=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ） ①若直線l過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是l：y=$\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
故${k}_{1}=-\frac{\sqrt{2}-1}{2}，{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
②由①猜測(cè)k₁+k₂=0．
事實(shí)上，設(shè)在y軸上的截距為b，∴直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+b．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2bx+2b²-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂═-2b，x₁x₂=2b²-4．
又${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}，{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$．
又${y}_{1}=\frac{1}{2}{x}_{1}+b，{y}_{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}+b$，
∴（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+b-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+b-1）（{x}_{1}-2）$
=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0．
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．