Question

1．如圖，四棱錐S-ABCD中，BC∥AD，BC=2AB=2AD=2，SD=$\frac{1}{2}$，BD⊥SD，∠ABC=60°，E為BC的中點．
（1）求證：AD∥平面SBC；
（2）求證：BD⊥SC；
（3）若二面角S-BD-C為60°，求直線SE與平面SDC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由BC∥AD，能證明AD∥平面SBC．
（2）由余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$，連結(jié)DE，則四邊形ABED是平行四邊形，推導(dǎo)出BD⊥CD，由此能證明BD⊥SC．
（3）以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線SE與平面SDC所成的角．

解答 證明：（1）∵BC∥AD，
AD?平面SBC，BC?平面SBC，
∴AD∥平面SBC．
（2）∵BC=2AB=2AD=2，SD=$\frac{1}{2}$，BD⊥SD，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，BD=$\sqrt{1+1-2×1×1×120°}$=$\sqrt{3}$，
連結(jié)DE，則四邊形ABED是平行四邊形，
∴DE=CE=1，∠DEC=∠ABE=60°，
∴CD=1，∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵SD∩CD=D，∴BD⊥平面SDC，
∵SC?平面SDC，∴BD⊥SC．
解：（3）以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵二面角S-BD-C為60°，SD⊥BD，CD⊥BD，
∴∠SDC是二面角S-BD-C的平面角，即∠SDC=60°，
S（0，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），D（0，0，0），C（0，1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0$），
$\overrightarrow{SE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DS}$=（0，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)平面SDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）
設(shè)直線SE與平面SDC所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{SE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴直線SE與平面SDC所成的角為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．