Question

8．已知c_n=（3n-1）$\frac{2}{{3}^{n}}$，n=1，2，3，…，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵c_n=（3n-1）$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$2（\frac{2}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{8}{{3}^{3}}$+…+$\frac{3n-1}{{3}^{n}}）$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$（\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+…+\frac{3n-4}{{3}^{n}}+\frac{3n-1}{{3}^{n+1}}）$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$（\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+$…+$\frac{3}{{3}^{n}}-\frac{3n-1}{{3}^{n+1}}）$，
∴T_n=2+$\frac{3}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{3}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3n-1}{{3}^{n}}$=3×$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-1-$\frac{3n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{7}{2}-\frac{6n+7}{2×{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{7}{2}-\frac{6n+7}{2×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．