Question

2．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，給出以下四個結(jié)論：①$\frac{tanA}{tanB}$=1；②1＜sinA+sinB$≤\sqrt{2}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C，其中正確的結(jié)論是②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，得cos$\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進而求得A+B=90°．
對于①，tanA•cotB=tanA•tanA=1等式不一定成立；對于②，利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，故②正確；對于③，sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1；④利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，根據(jù)C=90°可知sinC=1，故④正確．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tan²A，不一定等于1，故①不正確；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
45°＜A+45°＜135°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，故②正確；
∵sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正確；
∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C．故④正確．
綜上知②④正確
故答案為：②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查了三角函數(shù)的化簡求值．考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．