Question

7．近年來，全國很多地區(qū)出現(xiàn)了非常嚴(yán)重的霧霾天氣，而燃放煙花爆竹會(huì)加重霧霾．是否應(yīng)該全面禁放煙花爆竹已成為人們議論的一個(gè)話題．一般來說，老年人（年滿60周歲）從情感上不太支持禁放煙花爆竹，而中青年人（18周歲至60周歲以下）則相對理性一些．某市環(huán)保部門就是否贊成禁放煙花爆竹對400位老年人和中青年市民進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查，結(jié)果如下表：

	贊成禁放	不贊成禁放	合計(jì)
老年人	60	140	200
中青年人	80	120	200
合計(jì)	140	260	400

（I）有多大的把握認(rèn)為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)？請說明理由；
（Ⅱ）從上述不贊成禁放煙花爆竹的市民中按年齡結(jié)構(gòu)分層抽樣出13人，再從這13人中隨機(jī)的挑選2人，了解它們春節(jié)期間在煙花爆竹上消費(fèi)的情況．假設(shè)老年人花費(fèi)500元左右，中青年人花費(fèi)1000元左右．用 X表示它們在煙花爆竹上消費(fèi)的總費(fèi)用，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（k2＞k0）	0.050	0.025	0.010
k0	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²≈4.3956＞3.841，得有95%把握認(rèn)為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)．
（Ⅱ）13人中有老年人7人，中青年人6人．那么X=2000，1500，1000．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與EX．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?{K^2}=\frac{{400×{{（60×120-140×80）}^2}}}{140×260×200×200}=\frac{400}{91}≈4.3956＞3.841$，
所以有95%把握認(rèn)為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?40：120=7：6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人．
那么X=2000，1500，1000．…（7分）
$P（X=2000）=\frac{C_6^2}{{C_{13}^2}}=\frac{5}{26}$，
$P（X=1500）=\frac{C_7^1C_6^1}{{C_{13}^2}}=\frac{7}{13}$，
$P（X=1000）=\frac{C_7^2}{{C_{13}^2}}=\frac{7}{26}$，
所以X的分布列為：

X	2000	1500	1000
P	$\frac{5}{26}$	$\frac{7}{13}$	$\frac{7}{26}$

所以$EX=2000×\frac{5}{26}+1500×\frac{7}{13}+1000×\frac{7}{26}=\frac{19000}{13}≈1462$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．