Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{a_1}=1，{S_n}=n{a_n}-3n（{n-1}），（{n∈{N^*}}）$．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}-\frac{3}{2}{（{n-1}）^2}=2016$？若存在，求出n值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得，∴n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），與原遞推式作差可得{a_n}為公差為6的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入S_n=na_n-3n（n-1），得到$\frac{{S}_{n}}{n}$，由$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}-\frac{3}{2}{（{n-1}）^2}=2016$即可求得n的值．

解答 解：（Ⅰ） S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），
∴n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），
兩式相減得：a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-3（n-1）[n-（n-2）]，
即（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+6（n-1），也即a_n-a_n-1=6，
∴{a_n}為公差為6的等差數(shù)列，
又a₁=1，∴a_n=6n-5；
（Ⅱ）${S_n}=n{a_n}-3n（n-1）{=}n（6n-5）-3n（n-1）=3{n^2}-2n$，
∴$\frac{S_n}{n}=3n-2$，
$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}=3（1+2+3+…+n）-2n=\frac{3n（n+1）}{2}-2n=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$，
∴$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}-\frac{3}{2}{（n-1）^2}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{2}{（n-1）^2}=\frac{5n}{2}-\frac{3}{2}=2016$，
即5n=4035，
∴n=807．
即當(dāng)n=807時(shí)，
$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_n}{n}-\frac{3}{2}{（n-1）^2}=2016$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．