Question

對定義域分別是D_f、D_g的函數(shù)y=f （x）、y=g （x），規(guī)定：h（x）=

f(x)•g(x)， 當x∈Df且x∈Dg  f(x) ，當x∈Df且x∉Dg  g(x) ，當x∉Df且x∈Dg.

（1）若函數(shù)f （x）=

1

x-1

，g （x）=x²，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f （x），及一個實常數(shù)a的值，使得f （x）•f （x+a）=x⁴+x²+1，并予證明．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）把f（x），g（x）代入，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）分別討論x=1，x≠1的情況，從而求出函數(shù)的值域問題；
（3）根據(jù)x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+x+1）（x²-x+1）=（x²+x+1）[（x-1）²+（x-1）+1]，從而得出．

解答： 解：（1）h （x）=

x2 x-1 ，x∈(-∞，  1)∪(1， +∞) 1  ， x=1

，
（2）當x=1時，h （1）=1
當x≠1時，y=

x2

x-1

，即x²-yx+y=0
由關于x的方程x²-yx+y=0有實數(shù)解（顯然解不為1）知
△=（-y）²-4y≥0，得y≥4或y≤0，
∴函數(shù)h （x）的值域（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞），
（3）∵x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+x+1）（x²-x+1）
=（x²+x+1）[（x-1）²+（x-1）+1]
∴可取f （x）=x²+x+1，a=-1
注：取f （x）=x²-x+1，a=1；f （x）=-x²+x-1，a=1；
f （x）=-x²-x-1，a=-1均可．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，求函數(shù)的值域問題，是一道基礎題．