Question

14．翡翠市場流行一種賭石“游戲規(guī)則”：翡翠在開采出來時有一層風化皮包裹著，無法知道其內(nèi)的好壞，須切割后方能知道翡翠的價值，參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石并現(xiàn)場開石驗證其具有的收藏價值．某舉辦商在賭石游戲中設(shè)置了甲、乙兩種賭石規(guī)則，規(guī)則甲的賭中率為$\frac{2}{3}$，賭中后可獲得20萬元；規(guī)則乙的賭中率為P₀（0＜P₀＜1），賭中后可得30萬元；未賭中則沒有收獲．每人有且只有一次賭石機會，每次賭中與否互不影響，賭石結(jié)束后當場得到兌現(xiàn)金額．
（1）收藏者張先生選擇規(guī)則甲賭石，收藏者李先生選擇規(guī)則乙賭石，記他們的累計獲得金額數(shù)為X（單位：萬元），若X≤30的概率為$\frac{7}{9}$，求P₀的大��；
（2）若收藏者張先生、李先生都選擇賭石規(guī)則甲或選擇賭石規(guī)則乙進行賭石，問：他們選擇何種規(guī)則賭石，累計得到金額的數(shù)學期望最大？

Answer 1

分析 第（1）問是理解對立事件及其概率的計算，即若“2人的累計獲得金額數(shù)為X（單位：萬元）”的事件為A，則事件A的對立事件為“X=50”；
第（2）問是考查離散型隨機變量的期望值，通過對期望值的計算，比較期望值的大小得到求解問題的決策．

解答 解：（1）由已知得收藏者張先生賭中的概率為$\frac{2}{3}$，收藏者李先生賭中的概率為P₀，且兩人賭中與否互不影響．記“這2人的累計獲得金額數(shù)為X（單位：萬元）”的事件為A，則事件A的對立事件為“X=50”．
因為$P（X=50）=\frac{2}{3}{P_0}$，所以$P（A）=1-P（X=50）=1-\frac{2}{3}{P_0}=\frac{7}{9}$，求得${P_0}=\frac{1}{3}$．   （4分）
（2）設(shè)收藏者張先生、李先生都選擇規(guī)則甲賭中的次數(shù)為X₁，都選擇規(guī)則乙賭中的次數(shù)為X₂，則這兩人選擇規(guī)則甲累計獲獎得金額的數(shù)學期望為E（20X₁），選擇規(guī)則乙累計獲獎得金額的數(shù)學期望為E（30X₁）．
由已知可得，${X_1}～B（20，\frac{2}{3}）$，X₂～B（20，P₀），所以$E（{X_1}）=\frac{4}{3}$，E（X₂）=2P₀，
從而$E（20{X_1}）=20E（{X_1}）=20×\frac{4}{3}=\frac{80}{3}$，E（30X₂）=30E（X₂）=60P₀．        （8分）
若E（20X₁）＞E（30X₁），則$\frac{80}{3}＞60{P_0}$，解得$0＜{P_0}＜\frac{4}{9}$；
若E（20X₁）＜E（30X₁），則$\frac{80}{3}＜60{P_0}$，解得$\frac{4}{9}＜{P_0}＜1$；
若E（20X₁）=E（30X₁），則$\frac{80}{3}=60{P_0}$，解得${P_0}=\frac{4}{9}$．                         （11分）
綜上所述，當$0＜{P_0}＜\frac{4}{9}$時，他們都選擇規(guī)則甲進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當$\frac{4}{9}＜{P_0}＜1$時，他們都選擇規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當${P_0}=\frac{4}{9}$時，他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望相等．                    （12分）

點評 本題以翡翠市場流行一種賭石“游戲規(guī)則”為命題背景，考查數(shù)學期望Eξ的計算及在實際中的應用．