1.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+1|.
(1)若a=2,解不等式:f(x)<5;
(2)若f(x)≥4-|a-1|對任意的實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)若a=2,f(x)=|x-2|+|x+1|<5,分類討論求得它的解集.
(2)利用絕對值三角不等式求得f(x)的最小值為|a+1|,可得|a+1|≥4-|a-1|,由此求得a的范圍.

解答 解:(1)若a=2,f(x)=|x-2|+|x+1|<5.
∴$\left\{\begin{array}{l}{x<-1}\\{1-2x<5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{3<5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x>2}\\{2x-1<5}\end{array}\right.$,
解得x∈(-2,3);
(2)∵f(x)≥4-|a-1|對任意的實數(shù)x恒成立,
∴f(x)=|x-a|+|x+1|≥|x-a-x-1|=|a+1|≥4-|a-1|
∴$\left\{\begin{array}{l}{a<-1}\\{-2a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{2≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{2a≥4}\end{array}\right.$
∴a≤-2或a≥2
∴a∈(-∞,-2]∪[2,+∞).

點評 本題主要考查絕對值三角不等式,絕對值不等式的解法,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學思想,屬于基礎(chǔ)題.

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