Question

7．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow$=（1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{c}$=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ₁，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求sin$\frac{α-β}{8}$的值．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的夾角公式求得θ₁和θ₂的值，再根據(jù)θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，可得 $\frac{α-β}{8}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$，再利用兩角差的正弦公式求得sin$\frac{α-β}{8}$=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：由題意可得cosθ₁=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1+cosα}{\sqrt{2+2cosα}}$=$\sqrt{\frac{1+cosα}{2}}$=cos$\frac{α}{2}$，α∈（0，π），∴θ₁=$\frac{α}{2}$．
cosθ₂=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-cosβ}{\sqrt{2-2cosβ}}$=$\sqrt{\frac{1-cosβ}{2}}$=sin$\frac{β}{2}$=cos（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$），β∈（π，2π），∴θ₂=$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$．
再根據(jù)θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，可得 $\frac{α-β}{2}$=-$\frac{π}{3}$，∴$\frac{α-β}{8}$=-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$，
∴sin$\frac{α-β}{8}$=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．