Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1，直線l是曲線y=f（x）在點(diǎn)N（x₀，f（x₀ ））處的切線．
（1）若x₀=1，求直線l的方程；
（2）若x₀＜0，記直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，再令x=0，y=0，得到y(tǒng)，x軸的交點(diǎn)，可得三角形的面積S，再由導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間、極值，進(jìn)而得到最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
則直線l的斜率為k=1+2=3，切點(diǎn)為（1，0），
即有直線l的方程為y-0=3（x-1），
即為y=3x-3；
（2）由f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，可得
直線l的斜率為1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切點(diǎn)為（x₀，x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$），
直線l的方程為y-（x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$）=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令x=0時(shí)，y=x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）x₀=1-$\frac{4}{{x}_{0}}$，
再令y=0，可得x=$\frac{4{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$，
則S=$\frac{1}{2}$•|$\frac{4{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$|•|1-$\frac{4}{{x}_{0}}$|=$\frac{1}{2}$•$\frac{（{x}_{0}-4）^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$，（x₀＜0），
由S′=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（{x}_{0}-4）（2{x}_{0}+1）}{（2+{x}_{0}）^{2}}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x₀＜0，S′＜0，S遞減，當(dāng)x₀＜-$\frac{1}{2}$，S′＞0，S遞增，
即有x₀=-$\frac{1}{2}$，S取得極大值，也為最大值，
且為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查三角形的面積的最值，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．