Question

8．已知△ABC的頂點(diǎn)B（-1，-3），AB邊上的高CE所在直線(xiàn)的方程為x-3y-1=0，BC邊上中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)的方程為8x+9y-3=0．求：
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)；          
（2）直線(xiàn)AC的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直關(guān)系算出直線(xiàn)CE的斜率，利用點(diǎn)斜式給出直線(xiàn)AB方程并整理，得AB方程為3x+y+6=0．由AD方程與AB方程聯(lián)解，可得A（-3，3）；
（2）結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式解方程組算出C（4，1）．最后用直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式列式，整理即得直線(xiàn)AC的方程．

解答 解：（1）∵CE⊥AB，且直線(xiàn)CE的斜率為$\frac{1}{3}$，∴直線(xiàn)AB的斜率為-3，
∴直線(xiàn)AB的方程為y+3=-3（x+1），即3x+y+6=0…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y+6=0}\\{8x+9y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}\right.$，∴A（-3，3）…（7分）
（2）設(shè)D（a，b），可得C（2a+1，2b+3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{8a+9b-3=0}\\{2a+1-3（2b+3）-1=0}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
因此D（$\frac{3}{2}$，-1），從而可得C（4，1）…（12分）
∴直線(xiàn)AC的方程為：$\frac{y-3}{1-3}=\frac{x+3}{4+3}$，
化簡(jiǎn)整理，得2x+7y-15=0，即為直線(xiàn)AC的方程…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的中線(xiàn)和高所在直線(xiàn)方程，求邊AC所在直線(xiàn)的方程．著重考查了直線(xiàn)的基本量與基本形式、直線(xiàn)的位置關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．