Question

13．求由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1所圍圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析 利用積分的知識計算即可．

解答 解：繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：
V_x=${∫}_{-a}^{a}π{y}^{2}dx$
=${∫}_{-a}^{a}π^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）dx$
=${∫}_{-a}^{a}π^{2}d（x-\frac{{x}^{3}}{3{a}^{2}}）$
=$π^{2}[（a-\frac{a}{3}）-（-a+\frac{a}{3}）]$
=$\frac{4πa^{2}}{3}$；
繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：
V_y=${∫}_{-b}^π{x}^{2}dy$
=${∫}_{-b}^π{a}^{2}（1-\frac{{y}^{2}}{^{2}}）dy$
=${∫}_{-b}^π{a}^{2}d（y-\frac{{y}^{3}}{3^{2}}）$
=$π{a}^{2}[（b-\frac{3}）-（-b+\frac{3}）]$
=$\frac{4π{a}^{2}b}{3}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積，注意解題方法的積累，屬于中檔題．