Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁側(cè)面的三條對(duì)角線AB₁，BC₁，CA₁中，若A₁C⊥AB₁，求證：AB₁⊥BC₁．

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)O，A₁C₁的中點(diǎn)D，連接OD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OD為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，AA₁=x，則可得：$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-x），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），由A₁C⊥AB₁，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可證$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，從而證明AB₁⊥BC₁．

解答 證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，A₁C₁的中點(diǎn)D，連接OD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OD為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，AA₁=x，則可得：A（-$\frac{1}{2}$，0，0），C（$\frac{1}{2}$，0，0），
B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），A₁（-$\frac{1}{2}$，0，x），C₁（$\frac{1}{2}$，0，x），
B₁（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），
∴可得：$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-x），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x）．
∵A₁C⊥AB₁，
∴$\frac{1}{2}$-x²=0，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
∴AB₁⊥BC₁．得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)和判定，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解的能力、以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．