Question

2．已知f（x）=2sin（2x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）對(duì)任意x有f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|
（1）求f（x）圖象對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數(shù)的周期為π，φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得它的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的減區(qū)間求得當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2sin（2x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的周期為$\frac{2π}{2}$=π，
對(duì)任意x有f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，故$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
即φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）對(duì)于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．