Question

17．已知圓x²+y²=4，圓外有一點(diǎn)M（3，3），點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，則P的軌跡方程是（x-3）²+（y-3）²=4（點(diǎn)（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$））除外．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）、N（x₀，y₀），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出OP、MN中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x、y和x₀、y₀的式子，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分建立關(guān)系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后將點(diǎn)N坐標(biāo)代入已知圓的方程，化簡(jiǎn)即得所求點(diǎn)P的軌跡方程．最后檢驗(yàn)去除不合題意的點(diǎn)，可得答案．

解答 解：設(shè)P（x，y），圓上的動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀），則
線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$），線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}+3}{2}$），
又∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=\frac{{x}_{0}+3}{2}}\\{\frac{y}{2}=\frac{{y}_{0}+3}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x-3}\\{{y}_{0}=y-3}\end{array}\right.$，
∵N（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，即N（x-3，y-3）在圓上，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足圓的方程，代入化簡(jiǎn)可得（x-3）²+（y-3）²=4，
直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$），不符合題意，舍去．
故答案為：（x-3）²+（y-3）²=4（點(diǎn)（$3+\sqrt{2}，3+\sqrt{2}$）和（$3-\sqrt{2}，3-\sqrt{2}$））除外．

點(diǎn)評(píng) 本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡求法等知識(shí)，屬于中檔題．