Question

5．求證：sin²α•tanα+cos²α•cotα+2sinαcosα=$\frac{1}{sinαcosα}$．

Answer 1

分析 化切為弦，通分后利用平方關系化簡證明．

解答 證明：sin²α•tanα+cos²α•cotα+2sinαcosα
=$si{n}^{2}α•\frac{sinα}{cosα}+co{s}^{2}α•\frac{cosα}{sinα}+2sinαcosα$
=$\frac{si{n}^{4}α+co{s}^{4}α}{sinαcosα}+\frac{2si{n}^{2}αco{s}^{2}α}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{4}α+si{n}^{2}αco{s}^{2}α+si{n}^{2}αco{s}^{2}α+co{s}^{4}α}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{2}α（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）+co{s}^{2}α（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）}{sinαcosα}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1}{sinαcosα}$．

點評 本題考查三角恒等式的證明，訓練了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是基礎題．