Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$a，M為A₁B₁的中點(diǎn)，求BC₁與平面AMC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BC₁與平面AMC₁所成角的正弦值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），C₁（0，a，$\sqrt{2}a$），A（0，0，0），M（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\sqrt{2}a$），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\sqrt{2}a$），
設(shè)平面AMC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}a}{4}x+\frac{a}{4}y+\sqrt{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=ay+\sqrt{2}az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，1），
設(shè)BC₁與平面AMC₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{2}a|}{\sqrt{3}a•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴BC₁與平面AMC₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．