Question

9．為檢測(cè)某種零件的生產(chǎn)質(zhì)量，檢驗(yàn)人員需抽取同批次的零件樣本進(jìn)行檢測(cè)指標(biāo)評(píng)分．若檢測(cè)后評(píng)分結(jié)果大于60分的零件為合格零件，評(píng)分結(jié)果不超過40分的零件將直接被淘汰，評(píng)分結(jié)果在（40，60]內(nèi)的零件可能被修復(fù)也可能被淘汰．現(xiàn)檢驗(yàn)員小張檢測(cè)出200個(gè)合格零件，根據(jù)指標(biāo)評(píng)分繪制的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出頻率分布與直方圖中a的值；
（2）估計(jì)這200個(gè)零件評(píng)分結(jié)果的平均數(shù)和中位數(shù)；
（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，可能被修復(fù)的零件個(gè)體被修復(fù)的概率如表：

零件評(píng)分結(jié)果所在區(qū)間	（40，50]	（50，60]
每個(gè)零件個(gè)數(shù)被修復(fù)的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$

假設(shè)每個(gè)零件被修復(fù)與否相互獨(dú)立．現(xiàn)有5個(gè)零件的檢測(cè)指標(biāo)評(píng)分結(jié)果為（單位：分）：38，43，45，52，58，
①求這5個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率；
②記這5個(gè)零件被修復(fù)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a．
（2）由頻率分布直方圖，能估計(jì)這200個(gè)零件評(píng)分結(jié)果的平均數(shù)和中位數(shù)．
（2）①由題意得評(píng)分結(jié)果在（40，50]，（50，60]內(nèi)零件各2個(gè)，記這5個(gè)零件被修復(fù)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則這5個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4），由此能求出結(jié)果．
②由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
10（0.01+0.02+0.03+a）=1，
解得a=0.04．
（2）由頻率分布直方圖，估計(jì)這200個(gè)零件評(píng)分結(jié)果的平均數(shù)：
$\overline{x}$=10（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82．
由頻率分布直方圖，知前2個(gè)矩形面積之和為0.5，∴中位數(shù)為80．
（2）①由題意得評(píng)分結(jié)果在（40，50]，（50，60]內(nèi)零件各2個(gè)，
記這5個(gè)零件被修復(fù)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，
則這5個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4），
∵P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴這5個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率：p=P（X=3）+P（X=4）=$\frac{7}{36}$．
②由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

EX=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率公布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．