Question

12．定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），已知當x∈[-1，0）時，f（x）=$\frac{1}{4^x}-\frac{a}{2^x}$（a∈R）．
（1）討論f（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若f（x）是（0，1]上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（x）在（0，1]上的解析式，令t=2^x（t∈（1，2]），可得g（t）為二次函數(shù)，求得對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關系，運用單調(diào)性可得最大值；
（2）由（1）中的g（t），可得g（t）在（1，2]上遞增，即有$\frac{a}{2}$≥2，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
當x∈[-1，0）時，f（x）=$\frac{1}{4^x}-\frac{a}{2^x}$（a∈R），
設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
∴f（-x）=$\frac{1}{{4}^{-x}}$-$\frac{a}{{2}^{-x}}$=4^x-a•2^x，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=a•2^x-4^x，x∈（0，1]；
令t=2^x（t∈（1，2]），即有g（t）=at-t²=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當$\frac{a}{2}$≤1即a≤2時，區(qū)間（1，2]為減區(qū)間，g（t）無最大值；
當1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4時，可得g（t）的最大值為g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當$\frac{a}{2}$≥2即a≥4時，區(qū)間（1，2]為增區(qū)間，g（t）的最大值為g（2）=2a-4．
綜上可得，a≤2時，f（x）無最大值；當2＜a＜4時，f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當a≥4時，f（x）的最大值為2a-4；
（2）f（x）=a•2^x-4^x，x∈（0，1]；
令t=2^x（t∈（1，2]），即有g（t）=at-t²=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（x）是（0，1]上的增函數(shù)，即g（t）在（1，2]上遞增，
即有$\frac{a}{2}$≥2，解得a≥4．
則實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的運用：求解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用：求最值，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．