Question

10．如圖1是圖2的三視圖，三棱錐B-ACD中，E，F(xiàn)分別是棱AB，AC的中點，△ABC的中線CE，BF交于點M．
（Ⅰ）證明：BD⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐A-DEF的體積；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點P，使得DF∥平面CPE，若存在，求$\frac{BP}{DP}$的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由三視圖可知：BD⊥AD，BD⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得：BD⊥平面ACD．即可得出．
（Ⅱ）由BD⊥平面ACD．取AD的中點G，連接EG，可得EG⊥平面ACD，利用V_A-DEF=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}×EG$即可得出．
（III）在線段BD上存在一點P，使得DF∥平面CPE，且$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$．由于E，F(xiàn)分別是棱AB，AC的中點，可得EF∥BC，$\frac{BM}{MF}=\frac{BC}{EF}=\frac{2}{1}$，可得$\frac{BP}{PD}=\frac{BM}{MF}$，DF∥PM．利用線面平行的判定定理即可證明．

解答 （I）證明：由三視圖可知：BD⊥AD，BD⊥CD，又AD∩CD=D，
∴BD⊥平面ACD．
∵AC?平面ACD，
∴∴BD⊥AC．
（Ⅱ）解：∵BD⊥平面ACD．
取AD的中點G，連接EG，
∵E是AB的中點，
∴EG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴EG⊥平面ACD，EG=$\frac{3}{2}$，
∴V_A-DEF=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}×EG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（III）解：在線段BD上存在一點P，使得DF∥平面CPE，且$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$．
下面給出證明：∵E，F(xiàn)分別是棱AB，AC的中點，
∴EF∥BC，
∴$\frac{BM}{MF}=\frac{BC}{EF}=\frac{2}{1}$，
∵$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{BM}{MF}$，
∴DF∥PM．
∵DF?平面CPE，PM?平面CPE，
∴DF∥平面CPE．

點評 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、三視圖的概念及體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．