Question

12．如圖所示，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點是F，拋物線C上的橫坐標為1的點到焦點F的距離是2，直線l經(jīng)過點F交拋物線C于A、B兩點，A點在x軸下方，點D和點A關(guān)于x軸對稱．
（1）若$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求直線l的方程；
（2）求S²_OAF+S²_△OBD的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C上的橫坐標為1的點到焦點F的距離是2，求出拋物線的方程；設(shè)出A、B坐標，利用$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求出A、B坐標之間的關(guān)系，然后求直線l的方程；
（2）求出S²_OAF+S²_△OBD的表達式，利用基本不等式求S²_OAF+S²_△OBD的最小值．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準線為x=-$\frac{p}{2}$．
由題意，拋物線C上的橫坐標為1的點到焦點F的距離是2，∴1+$\frac{p}{2}$=2，∴p=2． 
∴所求拋物線的方程為y²=4x．
設(shè)A，B兩點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，
∴（1-x₂，-y₂）=4（x₁-1，y₁），
∴1-x₂=4（x₁-1），-y₂=4y₁…①
由題意，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得ky²-4y-4k=0，
因為直線l與C相交于A，B兩點，所以k≠0，
則△=16+16k²＞0，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，…②
由①②，得方程組k=±$\frac{4}{3}$，
∵A點在x軸下方，∴直線l的方程為y=$\frac{4}{3}$（x-1）；
（2）直線OB的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$x，即2px-y₂y=0，
∵點D和點A關(guān)于x軸對稱，
∴D（x₁，-y₁），
∴D到直線OB的距離d=$\frac{|2p{x}_{1}+{y}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{4{p}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{|2p{x}_{1}-4|}{\sqrt{2p（2p+{x}_{2}）}}$，
∴S²_△OBD=$\frac{1}{4}$×x₂×（2p+x₂）×$\frac{（2p{x}_{1}-4）^{2}}{2p（2p+{x}_{2}）}$=$\frac{{x}_{2}（p{x}_{1}-2）^{2}}{2p}$=${x}_{2}（{x}_{1}-1）^{2}$，
∵直線AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁x₂=1
∵S²_OAF=$\frac{1}{4}$×1×${{y}_{1}}^{2}$=x₁，
∴S²_OAF+S²_△OBD=x₁+$\frac{（{x}_{1}-1）^{2}}{{x}_{1}}$=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
當且僅當2x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，即x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，S²_OAF+S²_△OBD的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查直線與拋物線的方程，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．