Question

13．已知數列{a_n}首項是a₁=1，且滿足遞推關系${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$．
（1）證明：數列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求等差數列$\left\{{b_n}\right\}（n∈{N^*}）$使得對一切自然數n∈N^*都有如下的等式成立：${b_1}C_n^0+{b_2}C_n^1+{b_3}C_n^2+…+{b_{n+1}}C_n^n={a_{n+1}}$；
（3）c_n=nb_n，是否存在正常數M使得$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$對n∈N^*恒成立，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）把數列遞推式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$．則數列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，由等差數列的通項公式求得數列{a_n}的通項公式；
（2）設出等差數列{b_n}的首項和公差，采用倒序相加法求得b₁+b_n+1=2n+2．分別取n=1、2列式求得首項和公差，則等差數列{b_n}的通項公式可求；
（3）由（1）（2）得到$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$的通項公式，然后利用錯位相減法求和，再由放縮法證得答案．

解答 （1）證明：由${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$．
∴數列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$；
（2）解：設等差數列{b_n}的首項為b₁，公差為d，則b_n=b₁+（n-1）d（n∈N^*）．
考察等差數列，易知：b₁+b_n+1=b₂+b_n=b₃+b_n-1=…=b_n+1+b₁．
又 b₁C_n⁰+b₂C_n¹+b₃C_n²+…+b_n+1C_nⁿ=a_n+1，
利用加法交換律把此等式變?yōu)閎_n+1C_nⁿ+b_nC_n^n-1+b_n-1C_n^n-2+…+b₁C_n⁰=a_n+1，
兩式相加，利用組合數的性質C_n^m=C_n^n-m化簡，得（b₁+b_n+1）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=2a_n+1，即b₁+b_n+1=2n+2．
再分別令n=1，n=2，得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+_{2}=4}\\{_{1}+_{3}=6}\end{array}\right.$，求解可得b₁=1，d=2．
因此，滿足題設的等差數列{b_n}的通項公式為b_n=2n-1（n∈N^*）；
（3）解：結論：存在正常數M（只要M＞6即可），使得$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$對n∈N^*恒成立．
證明：由（2）知，b_n=2n-1，于是，c_n=n（2n-1），
∴$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{n（2n-1）}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
令T_n=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}+…+\frac{{c}_{n}}{{a}_{n}}$，則${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{3}{{2}^{1}}+\frac{5}{{2}^{2}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-2}}+\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
兩式作差得，$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
整理得${T}_{n}=6-\frac{1}{{2}^{n-3}}-\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$＜6．
∴當且僅當正常數M＞6時，$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+…+\frac{c_n}{a_n}＜M$對n∈N^*恒成立．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了倒序相加法求數列的通項公式，訓練了錯位相減法求數列的和，屬中高檔題．