Question

18．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）（2）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（Ⅲ）求不等式f（x）+f（x-1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法，x=y=0求出f（0）的值，結(jié)合y=-x，利用已知條件，推出函數(shù)是奇函數(shù)即可；
（Ⅱ）先設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根據(jù)題目條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形判定其符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定；
（Ⅲ）運(yùn)用奇函數(shù)的定義和單調(diào)性，可得f（x）＜-f（x-1）=f（1-x），即有-1＜1-x＜x＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
理由：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（$\frac{0+0}{1+0}$）=f（0），
∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），
f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x），
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
理由：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)，
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）不等式f（x）+f（x-1）＜0即為
f（x）＜-f（x-1）=f（1-x），
由f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
可得-1＜1-x＜x＜1，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
則不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)奇偶性的判定，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，考查不等式的解法，屬于中檔題．