Question

12．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，純虛數(shù)i的三個立方根為-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出z=x+yi（x，y∈R），由題意可得（x+yi）³=i，展開等式左邊后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得x，y的值，則答案可求．

解答 解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
由z³=i，得（x+yi）³=i，
即x³+3x²yi-3xy²-y³i=i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x{y}^{2}=0①}\\{3{x}^{2}y-{y}^{3}=1②}\end{array}\right.$，
由①得，x=0或x²-3y²=0，
把x=0代入②，解得y=-1；
把x²-3y²=0代入②，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴純虛數(shù)i的三個立方根為：-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．
故答案為：-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)的計算題．