Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x+y+a=0與點(diǎn)A（2，0），若直線l上存在點(diǎn)M滿足|MA|=2|MO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，-x-a），由已知條件利用兩點(diǎn)間距離公式得（x-2）²+（-x-a）²=4x²+4（-x-a）²，由此利用根的判別式能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（x，-x-a），
∵直線l：x+y+a=0，點(diǎn)A（2，0），直線l上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=2|MO|，
∴（x-2）²+（-x-a）²=4x²+4（-x-a）²，
整理，得6x²+（6a+4）x+a²+3a²-4=0①，
∵直線l上存在點(diǎn)M滿足|MA|=2|MO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴方程①有解，
∴△=（6a+4）²-24（3a²+-4）≥0，
整理得9a²-12a-28≤0，
解得$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$≤a≤$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$，
故a的取值范圍為[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]，
故答案為：[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式和一元二次方程式根的判別式的合理運(yùn)用．