Question

13．如圖所示，在四棱錐中A-BCDE中，AE⊥面EBCD，且四邊形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F(xiàn)是BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．
（1）當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F到面ACD的距離；
（2）當(dāng)F在由B向C移動(dòng)的過程中，能否存在一個(gè)位置使得二面角F-AD-C的余弦值為$\frac{15}{\sqrt{231}}$？若存在，求出BF的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）以E為原點(diǎn)，ED為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量，由此能求出點(diǎn)F到面ACD的距離；
（2）設(shè)F（$\sqrt{3}$，m，0），求出平面AFD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）以E為原點(diǎn)，ED為y軸，EA為z軸．
建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得F（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），
∴點(diǎn)F到面ACD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）設(shè)F（$\sqrt{3}$，m，0），平面AFD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則
∵$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，m，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+my-2=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-m），1，1），
∵二面角F-AD-C的余弦值為$\frac{15}{\sqrt{231}}$，
∴$\frac{|2-m+1+1|}{\sqrt{\frac{（2-m）^{2}}{3}+1+1}•\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}$=$\frac{15}{\sqrt{231}}$，
∴7m²-6m+187=0，方程無解，
∴不存在一個(gè)位置使得二面角F-AD-C的余弦值為$\frac{15}{\sqrt{231}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角F-AD-C的余弦值，是中檔題，正確求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵．