Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個零點，則實數(shù)t的取值范圍是（-4，-1）∪（0，2）．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個零點，則$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一個零點，y=tx+t²-2，x≤-1無零點，或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$無零點，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一個零點，分類討論各個情況下，兩段函數(shù)零點的個數(shù)，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0}\\{tx+{t}^{2}-2，x≤-1}\end{array}\right.$，恰有一個零點，
則$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$恰有一個零點，y=tx+t²-2，x≤-1無零點，
或$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1），x＞-1且x≠0$無零點，y=tx+t²-2，x≤-1恰有一個零點，
令$y=\frac{1}{2}ln|tx|-ln（x+1）=0$，則$\frac{1}{2}ln|tx|=ln（x+1）$，
則$ln\sqrt{\left|tx\right|}=ln（x+1）$，
則$\sqrt{\left|tx\right|}=x+1$，
即|tx|=x²+2x+1，
當(dāng)0＜|t|＜4時，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時，只有一個交點，
當(dāng)|t|=0時，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時，無交點；
當(dāng)|t|≥4時，y=|tx|與y=x²+2x+1的圖象在x＞-1時，有兩個以上交點，
由y=tx+t²-2得：x=$\frac{2-{t}^{2}}{t}$≤-1，解得：t≥2，或-1≤t＜0，
故t∈（-4，-1）∪（0，2）．
故答案為：（-4，-1）∪（0，2）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的解析式求法，函數(shù)的零點，分類討論思想，難度極大．