Question

15．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=3lnx．
（1）當m=4時，求曲線f（x）=mx-$\frac{m}{x}$在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若x∈（1，$\sqrt{e}$]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）由題意可得m（x-$\frac{1}{x}$）＜3lnx+3在（1，$\sqrt{e}$]恒成立，由1＜x≤$\sqrt{e}$時，3lnx+3∈（3，$\frac{9}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$遞增，可得值域為（0，$\frac{e-1}{\sqrt{e}}$]，運用分離參數(shù)，求得右邊函數(shù)的最小值，注意運用導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=4x-$\frac{4}{x}$的導數(shù)為f′（x）=4+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
可得在點（2，f（2））處的切線斜率為k=4+1=5，
切點為（2，6），
可得切線的方程為y-6=5（x-2），即為y=5x-4；
（2）x∈（1，$\sqrt{e}$]時，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，
即為m（x-$\frac{1}{x}$）＜3lnx+3在（1，$\sqrt{e}$]恒成立，
由1＜x≤$\sqrt{e}$時，3lnx+3∈（3，$\frac{9}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$遞增，可得值域為（0，$\frac{e-1}{\sqrt{e}}$]，
即有m＜$\frac{3（xlnx+x）}{{x}^{2}-1}$的最小值，
由h（x）=$\frac{3（xlnx+x）}{{x}^{2}-1}$的導數(shù)為h′（x）=$\frac{3（-2-lnx-{x}^{2}lnx）}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
可得1＜x≤$\sqrt{e}$時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
可得x=$\sqrt{e}$時，h（x）取得最小值，且為$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$．
可得m＜$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$．
則m的范圍是（-∞，$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，注意運用導數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化思想，運用單調(diào)性求得值域，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．