15.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥$\frac{1}{2}$,則f(x)<$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為( 。
A.{x|x<1}B.{x|x>1}C.{x|x<-1}D.{x|x>-1}

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論.

解答 解:設(shè)g(x)=f(x)-$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$,
則g'(x)=f'(x)-$\frac{1}{2}$,
∵f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥$\frac{1}{2}$,
∴g'(x))=f'(x)-$\frac{1}{2}≥$0,
即函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞增,
∵g(1)=f(1)-$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2}$=0,
∴當(dāng)x<1時,g(x)<g(1)=0,
∴不等式f(x)<$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為(-∞,1),
故選:A.

點評 本題主要考查不等式的解法,利用條件構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,綜合考查函數(shù)的性質(zhì).

練習(xí)冊系列答案
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6.已知函數(shù)f(x)=x-alnx+$\frac{x}$在x=1處取得極值.
(Ⅰ)求a與b滿足的關(guān)系式;
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4.曲線y=$\frac{1}{x}$與y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積為( 。
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5.為迎接2013年全運會的到來,組委會在大連市招募了100名志愿者,其中男、女志愿者各50名,調(diào)查是否喜歡運動得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù).由于一些原因,丟失了其中四個數(shù)據(jù),目前知道這四個數(shù)據(jù)c,a,b,d恰好成遞增的等差數(shù)列.
喜歡運動不喜歡運動總計
ab50
cd50
總計3070100
(Ⅰ)將聯(lián)表中數(shù)據(jù)補充完整,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為性別與運動有關(guān)?
(Ⅱ) 調(diào)查中顯示喜歡運動的男志愿者中有10%懂得醫(yī)療救護(hù),而喜歡運動的女志愿者中有40%懂得醫(yī)療救護(hù),從中抽取2人組成醫(yī)療救護(hù)小組,則這個醫(yī)療救護(hù)小組恰好是一男一女的概率有多大?
附:χ2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(χ2≥k)0.050.001
k3.8416.635

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