Question

16．有下列四個命題：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最大值是9；
p₃：直線ax+y+2a-1=0過定點(diǎn)（0，-l）；
p₄：曲線y=4x-x³在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程是y=x-2
其中真命題是（　　）

• A． p₁，p₄
• B． p₁p₂
• C． p₂，p₄
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 p₁：?x=y∈R，sin（x-y）=sinx-siny成立，即可判斷出正誤；
p₂：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤；
p₃：直線ax+y+2a-1=0化為a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x，y，即可判斷出直線經(jīng)過的定點(diǎn)；
p₄：由曲線f（x）=y=4x-x³，f′（x）=4-3x²，可得f′（-1），即切線的斜率，進(jìn)而得到的切線方程．

解答 解：p₁：?x=y∈R，sin（x-y）=sinx-siny成立，是真命題；
p₂：∵a＞0，b＞0，若a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}）$=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{2}{3}$時取等號，因此$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值是9，是假命題；
p₃：直線ax+y+2a-1=0化為a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1，因此直線過定點(diǎn)（-2，l），因此是假命題；
p₄：由曲線f（x）=y=4x-x³，f′（x）=4-3x²，可得f′（-1）=1，可得：曲線在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程是y+3=x+1，化為y=x-2，因此是真命題．
其中真命題是p₁，p₄．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、直線系的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．